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<!DOCTYPE html>

<title>Trägheitstensor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Trägheitstensor</span></h1>

</header>

</div>

<th colspan="2" style="background:#ABCDEF; color:inherit;"><a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">Physikalische Größe</a>

</th></tr>

<tr>

<td style="width:130px;">Name

</td>

<td><b>Trägheitstensor</b>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe#Größenart" title="Physikalische Größe">Größenart</a>

</td>

<td><a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Formelzeichen" title="Formelzeichen">Formelzeichen</a>

</td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } ,I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/604c1d37d5fc072c874a623d95c5fea8bf1925cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.283ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } ,I}" loading="lazy"></span></i>

</td></tr>

<tr>

<th><a href="Gr%C3%B6%C3%9Fensystem" title="Größensystem">Größen-</a> und<br><a href="Einheitensystem" title="Einheitensystem">Einheitensystem</a>

</th>

<th><a href="Ma%C3%9Feinheit" title="Maßeinheit">Einheit</a>

</th>

<th><a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a>

</th></tr>

<tr>

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {kg\,\cdot \,m^{2}} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9908d43da4088a7fdc32959ad57bd8659686bba7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.833ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {kg\,\cdot \,m^{2}} }" loading="lazy"></span>

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\,\cdot \,L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37ea02d0fefe19b5a261940055ddccc437344321.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.533ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle M\,\cdot \,L^{2}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

</tbody></table>

</td></tr>

<td colspan="2" style="text-align:center"><b>Anmerkungen</b>

</td></tr>

<tr>

<td colspan="2">Der Trägheitstensor ist ein <a href="Kovarianz_(Physik)" title="Kovarianz (Physik)">kovarianter</a> und <a href="Definitheit" title="Definitheit">positiv definiter</a> <a href="Tensor#Arten_von_Tensoren" title="Tensor">Tensor 2. Stufe</a>.

</td></tr>

</tbody></table>

<p>Der <b>Trägheitstensor</b> ist in der <a href="Mechanik" title="Mechanik">Mechanik</a> die Eigenschaft eines <a href="Starrer_K%C3%B6rper" title="Starrer Körper">starren Körpers</a>, die seine <a href="Tr%C3%A4gheit" title="Trägheit">Trägheit</a> gegenüber Änderungen seines <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulses</a> beschreibt. Sein Formelzeichen ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a15b5576ec407e52c5fdfc21c5d7bf45402406a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.078ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {I} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {I} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a458c8aeb096ce732abf346ae8edf3e4f53a126.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.014ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {I} }" loading="lazy"></span>. Er ist ein <a href="Kovarianz_(Physik)" title="Kovarianz (Physik)">kovarianter</a> <a href="Tensor#Arten_von_Tensoren" title="Tensor">Tensor 2. Stufe</a> und für ausgedehnte Körper <a href="Definitheit" title="Definitheit">positiv definit</a>.

</p><p>Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0c139fc28d6ca3873993892f44e7331e5ff18fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}}" loading="lazy"></span> eines Körpers und seiner <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy"></span> in <a href="Vektor" title="Vektor">vektorieller</a> Form als <a href="Matrixprodukt" class="mw-redirect" title="Matrixprodukt">Matrixprodukt</a> des Trägheitstensors mit der Winkelgeschwindigkeit darstellen:

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

<p>Der Wert des Trägheitstensors hängt von der Wahl seines Bezugspunkts ab. Dieser wird zur Berechnung des Trägheitstensors meist auf den <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkt</a> des Körpers festgelegt. Diese Wahl erleichtert die separate Berechnung von <a href="Drehimpuls#Der_Eigendrehimpuls" title="Drehimpuls">Eigen-</a> und <a href="Drehimpuls#Der_Drehimpuls_eines_starren_Körpers" title="Drehimpuls">Bahndrehimpuls</a>. Mit Hilfe des <a href="Steinerscher_Satz" title="Steinerscher Satz">Steinerschen Satzes</a> lässt sich aus dem Trägheitstensor des Schwerpunktes der für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen.

</p><p>In der <a href="Koordinatendarstellung" class="mw-redirect" title="Koordinatendarstellung">Koordinatendarstellung</a> des Trägheitstensors bezüglich einer <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> mit dem <a href="Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a> im Bezugspunkt enthält er die <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheits-</a> und <a href="Deviationsmoment" title="Deviationsmoment">Deviationsmomente</a> für <a href="Rotation_(Physik)" title="Rotation (Physik)">Rotationsachsen</a>, die parallel zu den <a href="Basisvektor" class="mw-redirect" title="Basisvektor">Basisvektoren</a> sind. Durch <a href="Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation">Koordinatentransformation</a> erhält man die Trägheits- und Deviationsmomente bezüglich anderer Achsen durch den Bezugspunkt.

</p><p>Für bestimmte <a href="Drehachse" class="mw-redirect" title="Drehachse">Drehachsen</a> ist der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Diese Achsen heißen <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptträgheitsachsen</a>. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> des Trägheitstensors. Die entsprechenden <a href="Eigenwerte" class="mw-redirect" title="Eigenwerte">Eigenwerte</a> des Trägheitstensors nennt man die <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomente</a> des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse im Allgemeinen nicht parallel. Dann ist als Folge der <a href="Drehimpulserhaltung" class="mw-redirect" title="Drehimpulserhaltung">Drehimpulserhaltung</a> die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der <a href="Unwucht" title="Unwucht">Unwucht</a> Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.

</p><p>Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der <a href="Liste_von_Tr%C3%A4gheitstensoren" title="Liste von Trägheitstensoren">Liste von Trägheitstensoren</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Analogie_zur_Masse_bei_translatorischer_Bewegung">Analogie zur Masse bei translatorischer Bewegung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Rotation_(Physik)#Vergleich_mit_der_Translationsbewegung" title="Rotation (Physik)">Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung</a></i></div>

<p>Der Trägheitstensor hat in den Bewegungsgleichungen der Mechanik eine vergleichbare Position bezüglich der Rotation, wie die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> bezüglich der <a href="Translation_(Physik)" title="Translation (Physik)">Translation</a>.

</p>

<th>Rotation</th>

<th>Translation

</th></tr>

<tr>

<mover>

</mover>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mover>

</mover>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {\vec {L}} _{\mathrm {Drehimpuls} }=\underbrace {\mathbf {\Theta } } _{\mathrm {Tr{\ddot {a}}gheitstensor} }\cdot \underbrace {\vec {\omega }} _{\mathrm {Winkelgeschwindigkeit} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8a72211a0d7ef48eded6e525e9a66c92d35aa4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:40.749ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {\vec {L}} _{\mathrm {Drehimpuls} }=\underbrace {\mathbf {\Theta } } _{\mathrm {Tr{\ddot {a}}gheitstensor} }\cdot \underbrace {\vec {\omega }} _{\mathrm {Winkelgeschwindigkeit} }}" loading="lazy"></span></td>

<mover>

</mover>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<mover>

</mover>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {\vec {p}} _{\mathrm {Impuls} }=\underbrace {m} _{\mathrm {Masse} }\cdot \underbrace {\vec {v}} _{\mathrm {Geschwindigkeit} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e39b3de65b3e210837317cdbc3a27100010fcd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:25.786ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {\vec {p}} _{\mathrm {Impuls} }=\underbrace {m} _{\mathrm {Masse} }\cdot \underbrace {\vec {v}} _{\mathrm {Geschwindigkeit} }}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

<p>Jenseits der formal gleichen Position als Ausdruck der Trägheit, die kinematische Größe (Winkel-)Geschwindigkeit mit der dynamischen Größe (Dreh-)<a href="Impuls_(Physik)" class="mw-redirect" title="Impuls (Physik)">impuls</a> zu verknüpfen, bestehen wesentliche Unterschiede, die die Rotationen gegenüber den Translationen auszeichnen:

</p>

<ul><li>die Masse ist eine <a href="Skalar_(Mathematik)#Skalare_in_der_Physik" title="Skalar (Mathematik)">skalare Größe</a>, der Trägheitstensor ein Tensor zweiter Stufe.</li>

<li>Impuls und Geschwindigkeit sind immer parallel, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht.</li>

<li>Die Masse ist in allen Bezugssystemen zeitlich konstant, der Trägheitstensor hängt im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers und seiner Lage zum Bezugspunkt ab. Da diese sich ändern können, sind die Komponenten zeitabhängig, während bei Translationen die Masse konstant ist. Nur in einem körperfesten Bezugssystem sind die Komponenten des Trägheitstensors konstant.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Trägheitstensor_für_eine_Punktmasse"><span id="Tr.C3.A4gheitstensor_f.C3.BCr_eine_Punktmasse"></span>Trägheitstensor für eine Punktmasse</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung_und_Definition">Herleitung und Definition</h3></div>

<p>Für den <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation>

</semantics>

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=m\,{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m\,{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cee83387a2a238d0985bce90dcfe578529ec2124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.256ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=m\,{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m\,{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Hier sind:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span>: die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> der Punktmasse</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"></span>: der Ortsvektor der Punktmasse</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/550e644cf843111ec5a4d53cc3a9bc5c8422faa6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.531ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}" loading="lazy"></span>: die Geschwindigkeit der Punktmasse</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy"></span>: die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse relativ zum Koordinatenursprung</li></ul>

<p>Dies lässt sich mit Hilfe der <a href="Kreuzprodukt#Graßmann-Identität" title="Kreuzprodukt">BAC-CAB-Formel</a>, dem <a href="Einheitstensor" title="Einheitstensor">Einheitstensor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {1} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/235ffc0f1788b720aef5caa7b97246a84421fd0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {1} }" loading="lazy"></span> und dem Operator <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }" loading="lazy"></span> für das <a href="Dyadisches_Produkt" title="Dyadisches Produkt">dyadische Produkt</a> umformen zu:

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ddcf7a8cd9a4ce0100817db5b6e755f72c01b29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.313ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\vec {\omega }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Mit der Definition des Trägheitstensors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } }</annotation>

</semantics>

</p>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } :=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16348374f9d2d955817b9d970cf642172a96b85e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } :=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c0694523d35a7c0759cb6147c3b72204f3ad4f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung">Berechnung</h3></div>

<p>Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a15b5576ec407e52c5fdfc21c5d7bf45402406a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.078ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }" loading="lazy"></span> bezüglich der <a href="Orthonormalbasis" title="Orthonormalbasis">Orthonormalbasis</a> mit den Einheitsvektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91ec2fd7cc46b4427cfd09bab244026d27d81519.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.905ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}" loading="lazy"></span> erhält man aus der <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">Bilinearform</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ae59d75ebfff6c1d781a581f12b35f89b69f034.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.112ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}}" loading="lazy"></span>, wobei die Indizes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4cbf8bbc622154cda8208d6e339495fe16a1f9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.794ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,j}" loading="lazy"></span> die Koordinaten nummerieren:

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

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</mrow>

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</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

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</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

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</mrow>

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</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}\\&={\hat {e}}_{i}\cdot m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\hat {e}}_{j}\\&=m\,{\hat {e}}_{i}\cdot [({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}){\hat {e}}_{j}-({\vec {r}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\vec {r}}]\\&=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})({\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{j})-r_{j}({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {r}})]\\&=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}-r_{i}\,r_{j}]\\\Rightarrow \Theta &=m\,{\begin{pmatrix}(r_{2}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{1}r_{2}&-r_{1}r_{3}\\-r_{1}r_{2}&(r_{1}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{2}r_{3}\\-r_{1}r_{3}&-r_{2}r_{3}&(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65502e7bb900fec01de3583e414703bdfc092963.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.671ex; width:47.084ex; height:26.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}\\&={\hat {e}}_{i}\cdot m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\hat {e}}_{j}\\&=m\,{\hat {e}}_{i}\cdot [({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}){\hat {e}}_{j}-({\vec {r}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\vec {r}}]\\&=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})({\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{j})-r_{j}({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {r}})]\\&=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}-r_{i}\,r_{j}]\\\Rightarrow \Theta &=m\,{\begin{pmatrix}(r_{2}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{1}r_{2}&-r_{1}r_{3}\\-r_{1}r_{2}&(r_{1}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{2}r_{3}\\-r_{1}r_{3}&-r_{2}r_{3}&(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Hier sind zusätzlich:

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}=(r_{1},\,r_{2},\,r_{3})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/761c619941ed465c1a034eebecede24f369e3f01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.282ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}=(r_{1},\,r_{2},\,r_{3})}" loading="lazy"></span> die Koordinaten des <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektors</a></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mtext>sonst.</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{für}}\;i=j\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12a063edd4dd016b27e3b25a663a4b9d95a90bad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.132ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{für}}\;i=j\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}" loading="lazy"></span> das <a href="Kronecker-Delta" title="Kronecker-Delta">Kronecker-Delta</a></li></ul>

<p>Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}</annotation>

</semantics>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Struktur_des_Trägheitstensors"><span id="Struktur_des_Tr.C3.A4gheitstensors"></span>Struktur des Trägheitstensors</h2></div>

<p>Die Elemente des Trägheitstensors in einer Koordinatendarstellung haben unmittelbare physikalische Bedeutung:

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Trägheitsmoment_bezüglich_einer_beliebigen_Achse"><span id="Tr.C3.A4gheitsmoment_bez.C3.BCglich_einer_beliebigen_Achse"></span>Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a></i></div>

<p>Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems.

Das Trägheitsmoment <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{ee}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ee}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fff9dc86154170a056ed33b97dcfa4614e59380.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.573ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{ee}}" loading="lazy"></span> um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}}</annotation>

</semantics>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ee}={\hat {e}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e47597b3753678145071d2ea10fc083436f046ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.69ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{ee}={\hat {e}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ac09328845eecc01a117acbf303c1bc1decc4a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.292ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}}" loading="lazy"></span> durch zwei weitere Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert. Denn die Diagonalelemente sind die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deviationsmomente">Deviationsmomente</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Deviationsmoment" title="Deviationsmoment">Deviationsmoment</a></i></div>

<p>Die Nichtdiagonalelemente heißen <a href="Deviationsmoment" title="Deviationsmoment">Deviationsmomente</a>. Sie geben (nach Multiplikation mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fc60ab391d9835017f0778767fb25a54402d20f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.5ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega ^{2}}" loading="lazy"></span>) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hauptträgheitsachsen_und_Hauptträgheitsmomente"><span id="Haupttr.C3.A4gheitsachsen_und_Haupttr.C3.A4gheitsmomente"></span>Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptträgheitsachse</a></i></div>

<p>Im Allgemeinen gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a36888d72064b0ae6f6c2d2f5037af33734f02d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}" loading="lazy"></span>. Aus der positiven Definitheit des Tensors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a15b5576ec407e52c5fdfc21c5d7bf45402406a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.078ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }" loading="lazy"></span> folgt, dass es in drei Raumdimensionen auch drei positive <a href="Eigenwerte" class="mw-redirect" title="Eigenwerte">Eigenwerte</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb56690d4faf8feb2f46b9a23b816db68e082717.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.897ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{k}}" loading="lazy"></span> und zugehörige <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektoren</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94984234d61772c479fe0495c97be372002a30bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.535ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{k}}" loading="lazy"></span> gibt, für die gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}=\Theta _{k}{\vec {\omega }}_{k}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=\Theta _{k}{\vec {\omega }}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cebaafbbe337fc1ef415b9f9ea81432abfc71fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.113ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=\Theta _{k}{\vec {\omega }}_{k}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomente</a>.

</p><p>Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache <a href="Diagonalmatrix" title="Diagonalmatrix">Diagonalgestalt</a>:

</p>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } ={\begin{pmatrix}\Theta _{1}&&\\&\Theta _{2}&\\&&\Theta _{3}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a206228cb56666ce1bf0f1cfe45f6a2b1f8fe3bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:23.227ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } ={\begin{pmatrix}\Theta _{1}&&\\&\Theta _{2}&\\&&\Theta _{3}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetriebetrachtungen">Symmetriebetrachtungen</h3></div>

<p>Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:

</p>

<ul><li>Bei geraden <a href="Prisma_(Geometrie)" title="Prisma (Geometrie)">prismatischen</a> Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.</li>

<li>Bei <a href="Symmetrie_(Geometrie)#Entsprechungen_zu_zweidimensionalen_Symmetrieelementen" title="Symmetrie (Geometrie)">flächensymmetrischen</a> Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.</li>

<li>Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre <a href="Schnittgerade" title="Schnittgerade">Schnittgerade</a> Hauptträgheitsachsen.</li>

<li>Bei einem <a href="Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeder</a>, einem <a href="W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a>, bei den übrigen drei <a href="Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">regulären Körpern</a> und bei der <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a> ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535db05a857ac0f234b8ea55fbb90f9c6ca0c6f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.862ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{1}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/834991839d65ce0d127240c5aebf64878dfa0b52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.862ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{2}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4ae4eb3c44b63731a84fa3c8487f7aaa3e88c0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.862ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{3}}" loading="lazy"></span> paarweise voneinander verschieden, so liegt keine <a href="Rotationssymmetrie" class="mw-redirect" title="Rotationssymmetrie">Rotationssymmetrie</a> bezüglich einer Achse durch den Bezugspunkt vor, z. B. weil der Bezugspunkt nicht im <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkt</a> liegt oder der Körper bezüglich keiner Achse rotationssymmetrisch ist.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Drehimpuls_und_Rotationsenergie_im_körperfesten_Hauptachsensystem"><span id="Drehimpuls_und_Rotationsenergie_im_k.C3.B6rperfesten_Hauptachsensystem"></span>Drehimpuls und Rotationsenergie im körperfesten Hauptachsensystem</h2></div>

<p>Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{k}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/732861d637274912f651441f2672f7f26fc8548a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.38ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{k}}" loading="lazy"></span> durch die Hauptträgheitsachsen definiert sind, wird die Winkelgeschwindigkeit so ausgedrückt:

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f2f5880af43caadbe002ba12d9dae7b4629917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.763ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dann gilt für den Drehimpuls

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}=\Theta _{1}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{2}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d95b510d54cc74125de2f928cdbce0aea66fe9c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:41.788ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}=\Theta _{1}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{2}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>und für die <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}(\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e3a729ae97a225ffbc98038d63bb32005cdba01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:46.153ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}(\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2})}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Trägheitsellipsoid"><span id="Tr.C3.A4gheitsellipsoid"></span>Trägheitsellipsoid</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid" title="Trägheitsellipsoid">Trägheitsellipsoid </a></i></div>

<p>Definiert man die Länge des Ortsvektors <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1={\vec {r}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12accb041efaf5f00a492efa17baf775855dfbeb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.143ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1={\vec {r}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {r}}}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids (<a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid#Berechnung" title="Trägheitsellipsoid">Beweis</a>). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem <a href="Kehrwert" title="Kehrwert">Kehrwert</a> der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:

</p>

<mfrac>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {1}{\sqrt {\Theta _{rr}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f05911b1da76a1991756ec47e0f2cf905a8c1557.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:10.83ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {1}{\sqrt {\Theta _{rr}}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die drei Achsen des Ellipsoids sind die Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung_des_Trägheitstensors"><span id="Berechnung_des_Tr.C3.A4gheitstensors"></span>Berechnung des Trägheitstensors</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Für_ein_System_von_Massenpunkten"><span id="F.C3.BCr_ein_System_von_Massenpunkten"></span>Für ein System von Massenpunkten</h3></div>

<p>Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0c139fc28d6ca3873993892f44e7331e5ff18fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}}" loading="lazy"></span> ist die Summe der Drehimpulse der Komponenten des Systems <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{n}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95dc776482db6373c66079e789c9b01f2005662d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.801ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{n}}" loading="lazy"></span>.

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}{\vec {L}}_{n}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c9ad508b6649b9a703e65201d46addc61a3886.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.705ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}{\vec {L}}_{n}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}_{n}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{n}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f89a8ccfbf5b12d73ccb8d28870398b667b345a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.664ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{n}}" loading="lazy"></span> alle identisch und gleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1b52b5906aedc1b347e3eaa371fba3d7de5d5bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.844ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Und somit gilt für den Trägheitstensor <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } }</annotation>

</semantics>

</p>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

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</mrow>

</msub>

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</munder>

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</munder>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Theta } &=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\\&=\sum _{n}m_{n}\,[({\vec {r}}_{n}\cdot {\vec {r}}_{n})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}_{n}\otimes {\vec {r}}_{n}]\\&=\sum _{n}m_{n}{\begin{pmatrix}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-x_{n}y_{n}&-x_{n}z_{n}\\-y_{n}x_{n}&(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-y_{n}z_{n}\\-z_{n}x_{n}&-z_{n}y_{n}&(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum m_{n}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,x_{n}y_{n}&-\sum m_{n}\,x_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}y_{n}x_{n}&\sum m_{n}(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,y_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}z_{n}x_{n}&-\sum m_{n}\,z_{n}y_{n}&\sum m_{n}\,(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e60a7cf88f35cc2589ee5df9fd5fb2ec984a00c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.664ex; margin-bottom: -0.173ex; width:62.437ex; height:30.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Theta } &=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\\&=\sum _{n}m_{n}\,[({\vec {r}}_{n}\cdot {\vec {r}}_{n})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}_{n}\otimes {\vec {r}}_{n}]\\&=\sum _{n}m_{n}{\begin{pmatrix}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-x_{n}y_{n}&-x_{n}z_{n}\\-y_{n}x_{n}&(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-y_{n}z_{n}\\-z_{n}x_{n}&-z_{n}y_{n}&(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum m_{n}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,x_{n}y_{n}&-\sum m_{n}\,x_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}y_{n}x_{n}&\sum m_{n}(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,y_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}z_{n}x_{n}&-\sum m_{n}\,z_{n}y_{n}&\sum m_{n}\,(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Hier sind weiterhin:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1\ldots N}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d41cc40e00145546e67b509562dcc1b7289a9153.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.479ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{1\ldots N}}" loading="lazy"></span> die Massen der Massepunkte, aus denen das System zusammengesetzt ist,</li>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{1\ldots N}=(x_{1\ldots N},\,y_{1\ldots N},\,z_{1\ldots N})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2576645003e3551586659d2ced3154fff833538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.279ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{1\ldots N}=(x_{1\ldots N},\,y_{1\ldots N},\,z_{1\ldots N})}" loading="lazy"></span> die Koordinaten ihrer <a href="Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektoren</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bei_kontinuierlicher_Masseverteilung">Bei kontinuierlicher Masseverteilung</h3></div>

<p>An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c80c262b5476b043478d88adb73498aac8b80de9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.234ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho ({\vec {r}})}" loading="lazy"></span> ein Integral:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta =\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\mathbf {1} \,-\,{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06ae2ff03a33f3aeb7d0cb7c8cce793b9b5d54ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.249ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Theta =\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\mathbf {1} \,-\,{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\mathrm {d} V}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit den einzelnen Trägheitsmomenten

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ij}=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}\,-\,r_{i}r_{j}]\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80c6d267cfc8abf57755718039e6fcebdc64645b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.42ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{ij}=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}\,-\,r_{i}r_{j}]\mathrm {d} V}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel:_Trägheitstensor_eines_homogenen_Würfels"><span id="Beispiel:_Tr.C3.A4gheitstensor_eines_homogenen_W.C3.BCrfels"></span>Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen Würfels</h3></div>

<p>Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=2a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d130e60e7ccf65b03f63bdd8c5d866466455aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d=2a}" loading="lazy"></span> wird ein <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesisches Koordinatensystem</a> so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{\beta \alpha }=\varrho \,\int _{V}(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ccaae7327091567e1757cd89ed7685a40716599a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.43ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{\beta \alpha }=\varrho \,\int _{V}(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\mathrm {d} V}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/977a80cb718833efd3734157bf1e69232de96af2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.669ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}" loading="lazy"></span> <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrisch</a> ist. Beim Würfel mit Kantenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d325c24be7d760207674a169b078892bdd5cbc76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.392ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2a}" loading="lazy"></span> wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e0982b5868a66be1ed3ad7ef4bcd3d3db20f982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -a}" loading="lazy"></span> bis <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23558d20acf58179a3e9a08ea7c80ba017095873.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.038ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +a}" loading="lazy"></span> integriert. Für den Würfel ergibt sich:

</p>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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<msub>

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</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

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</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{xx}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{yy}=&\varrho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{zz}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+x^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{xy}=&\Theta _{yx}=-\varrho \int _{V}yx\mathrm {d} V=0\\\Theta _{yz}=&\Theta _{zy}=-\varrho \int _{V}zy\mathrm {d} V=0\\\Theta _{zx}=&\Theta _{xz}=-\varrho \int _{V}xz\mathrm {d} V=0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/720852fa30020f4666c38fb3a0df47c68540538d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -17.024ex; margin-bottom: -0.314ex; width:33.577ex; height:35.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{xx}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{yy}=&\varrho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{zz}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+x^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{xy}=&\Theta _{yx}=-\varrho \int _{V}yx\mathrm {d} V=0\\\Theta _{yz}=&\Theta _{zy}=-\varrho \int _{V}zy\mathrm {d} V=0\\\Theta _{zx}=&\Theta _{xz}=-\varrho \int _{V}xz\mathrm {d} V=0\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei wurde

</p>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mtd>

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<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{a}\mathrm {d} x=&\left[x\right]_{-a}^{a}=2a\\\int _{-a}^{a}x\mathrm {d} x=&\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-a}^{a}=0\\\int _{V}x^{2}\mathrm {d} V=&\int _{x=-a}^{x=a}\int _{y=-a}^{y=a}\int _{z=-a}^{z=a}x^{2}\,\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=\int _{x=-a}^{x=a}x^{2}\,\mathrm {d} x\int _{y=-a}^{y=a}\mathrm {d} y\int _{z=-a}^{z=a}\mathrm {d} z=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-a}^{a}(2a)^{2}={\frac {8}{3}}a^{5}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71bc138db95007b60961a2f23ac57afd76890db0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.171ex; width:97.423ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{a}\mathrm {d} x=&\left[x\right]_{-a}^{a}=2a\\\int _{-a}^{a}x\mathrm {d} x=&\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-a}^{a}=0\\\int _{V}x^{2}\mathrm {d} V=&\int _{x=-a}^{x=a}\int _{y=-a}^{y=a}\int _{z=-a}^{z=a}x^{2}\,\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=\int _{x=-a}^{x=a}x^{2}\,\mathrm {d} x\int _{y=-a}^{y=a}\mathrm {d} y\int _{z=-a}^{z=a}\mathrm {d} z=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-a}^{a}(2a)^{2}={\frac {8}{3}}a^{5}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>benutzt, Analoges gilt in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span>- und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"></span>-Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=2a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=2a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d130e60e7ccf65b03f63bdd8c5d866466455aa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.707ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d=2a}" loading="lazy"></span> und der Masse <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=\varrho d^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=\varrho d^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6decb2e6867099ec75a29cd24f3c28aa0eae3522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.613ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m=\varrho d^{3}}" loading="lazy"></span> des Würfels bekommt der Tensor die Form

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } =\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {\varrho }{6}}d^{5}\mathbf {1} ={\frac {m}{6}}d^{2}\mathbf {1} }</annotation>

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<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Eulersche_Gleichungen_(Kreiseltheorie)" title="Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)">Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)</a></li>

<li><a href="Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment" title="Flächenträgheitsmoment">Flächenträgheitsmoment</a></li>

<li><a href="Formelsammlung_Tensoralgebra" title="Formelsammlung Tensoralgebra">Formelsammlung Tensoralgebra</a></li>

<li><a href="Liste_von_Tr%C3%A4gheitstensoren" title="Liste von Trägheitstensoren">Liste von Trägheitstensoren</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Herbert_Goldstein" title="Herbert Goldstein">Herbert Goldstein</a>: <cite style="font-style:italic">Klassische Mechanik</cite>. 6. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1981, ISBN 3-400-00134-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tr%C3%A4gheitstensor&rft.au=Herbert+Goldstein&rft.btitle=Klassische+Mechanik&rft.date=1981&rft.edition=6.+Auflage&rft.genre=book&rft.isbn=3400001341&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Akademische+Verlagsgesellschaft" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">Richard Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Auflage. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>2</span>. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">DNB</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?referrer=Wikipedia&method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D451641280">451641280</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Tr%C3%A4gheitstensor&rft.au=Richard+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1950&rft.edition=2.+%C3%BCberarb.+Aufl.&rft.genre=book&rft.place=Berlin%2C+G%C3%B6ttingen%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer&rft.volume=2" style="display:none"> </span></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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